Es ist normal, dass ein Auto in kurzer Zeit sehr warm wird, das liegt daran, dass der kleine Kühlkreislauf permanent durch den Motor läuft und durch die Hitze eben warm wird (wird an der Anzeige angezeigt), was es ja auch soll, bei ca. 87 Grad öffnet sich dann normalerweise das Thermostat damit das Wasser durch den Kühler vorne an deinem Auto läuft, um durch den Fahrwind gekühlt zu werden.
Wenn du sagst, dass der die Temperatur sinkt beim Gas geben, ist bei dir anscheinen das Thermostat kaputt, das heißt, bei dir ist der kleine und der große Kreislauf durchgehend offen, wodurch das Kühlwasser und somit der Motor nicht die gezielte Temperatur von 90 Grad erreicht. Wasserpumpe kann dadurch nicht kaputt gehen, jedoch sollte man das Thermostat wechseln, da du nun wahrscheinlich einen höheren Verbrauch hast.